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Diseño de filtros por el método de la aproximación.

Objetivo: Aprender a diseñar filtros de orden n (cualquiera) que cumplan determinadas especificaciones.

Esquema a seguir:

  • Especificación de las características del filtro → ver formas de indicar estas especificaciones.
  • Elección del tipo estándar de filtro. Existen distintos tipos:
    • Butterworth
    • Chebyshev
    • Inversa de Chebyshev, Bessel, elípticos, etc.
  • Uso de las tablas de filtros estándar → Buscar los valores de los componentes del filtro (Cs, Ls y Rs). Valores normalizados (ω=1 rad/s y R= 1Ω, filtro prototipo) de los componentes en las tablas.

5.1 Especificación de las características de un filtro.

5.1.png

Relación entre atenuación y amplitud:

Especificaciones de un filtro paso bajo:

5.2.png

Gráfico2

Especificaciones de atenuación:

5.3.png

Especificaciones de un filtro paso alto:

5.4.png

Especificaciones de un filtro paso banda:

Especificaciones de un filtro rechazo banda:

Gráfico2

NOTA: En el diseño de filtros por el método de la aproximación siempre consideraremos especificaciones de filtro paso bajo. Para diseñar otro filtro (pasa alto, pasa banda, etc) se realizarán transformaciones de las especificaciones.

Parámetros de discriminación y selectividad de un filtro.

Parámetro de discriminación (Kd) :

Parámetro de Selectividad (Ks):

NOTAS:

Kd pequeño → filtro paso bajo de alta calidad.

Ks ~1 corresponde a un filtro pasa bajo casi ideal.

Gráfico2

Función característica F(ω2):

5.2 Filtro de Butterworth.

Definido siempre para el filtro paso bajo.

Características de su respuesta:

  • Función característica:

Su comportamiento:

  • Respuesta plana en la banda de paso.
  • Caída de 20n dB/década en la banda atenuada.
  • Filtro caracterizado por los valores de ωc y n.

Diseño de un filtro de Butterworth:

Tenemos que encontrar ωc y n que satisfagan las especificaciones.

Especificaciones:

5.5.png

  1. Cálculo del orden del filtro de Butterworth (n).

Debe cumplir:

Si n no es entero redondearemos al siguiente n que asegure el cumplimiento de especificaciones.

  1. Cálculo de la frecuencia de corte (ωc) del filtro de Butterworth.

Imponiendo que el filtro pase por la esquina (ωp, Hp):

Bode de amplitud de filtros Butterworth de orden creciente:

Dibujo

5.3 Filtro de Chebyshev.

Definido siempre para filtro paso bajo.

Características de su respuesta:

  • Función característica:

5.6.png

Definición de los polinomios de Chebyshev:

Obtenidos de forma recurrente:

Su comportamiento:

  • Respuesta con rizado en la banda de paso.

  • Filtro caracterizado por los valores de ε y n.

Dibujo2

  • Dado el orden del filtro (n), a mayor rizado permitido en la banda de paso, mejor selectividad en frecuencia.

Dibujo5

Diseño de un filtro de Chebyshev

Tenemos que encontrar ε y n que cumplen las especificaciones dadas.

Especificaciones:

5.7.png

1. Cálculo del orden del filtro de Chebyshev (n).

Debe cumplir:

Si n no es entero redondearemos al siguiente n que asegure el cumplimiento de especificaciones.

2. Cálculo del parámetro de rizado (ε) del filtro de Chebyshev.

Imponiendo que el filtro pase por la esquina (ωp,Hp):

Si nos dan el rizado ε → podemos deducir Hp.

Comparación Butterworth-Chebyshev

  • Los Chebyshev decaen más rápidamente que los Butterworth.
  • Los Butterworth se comportan mejor en la banda de paso.

Dibujo4

5.4 Implementación de filtros de Butterworth y Chebyshev.

Filtros Butterworth y Chebyshev solo paso bajo.

ACTIVOS (paso bajo):

Filtro de 2º orden (n=2)

Filtro de 3º orden (n=3)

Filtro de 4º orden (n=4)

Son filtros Sallen-Key conectados en cascada. Estos circuitos implementan la respuesta de Butterworth o Chebyshev según el valor de sus componentes.

PASIVOS (paso bajo):

Filtro en escalera.

(a) Circuito con mínimo número de inductancias.

(b) Circuito con mínimo número de condensadores.

En orden del filtro lo determina el número total de elementos almacenadores de energía (condensadores+inductancias).

5.4.1 Uso de tablas para el diseño de filtros paso bajo.

Conocido el tipo del filtro (Butterworth o Chebyshev; activo o pasivo) que deseamos implementar, el valor de los componentes se obtiene de las tablas.

Tablas filtros activos.

A estos filtros se les conoce como filtros paso bajo activos prototipo o normalizados.

Como nuestra frecuencia wc o wp no será de 1rad/s y no usaremos resistencias de 1Ω debemos aplicar una ley de escalamiento (en frecuencia e impedancia) a los valores de la tabla.

Ley Universal de Escalamiento para filtros activos

Tablas filtros pasivos.

Lo primero que tenemos que decidir es si vamos a utilizar una estructura con el mínimo número de condensadores o de inductancias.

Butterworth: Conocido n y wc, la tabla muestra los valores de Cs y Ls para wc= 1rad/s y RL= 1Ω.

Chebyshev: Conocido n y ε, la tabla muestra los valores de Cs y Ls para wp= 1rad/s y RL= 1Ω, para un rizado determinado.

A estos filtros se les conoce como filtros paso bajo pasivos prototipo o normalizados.

Para obtener un filtro con la frecuencia que nos interesa y valores "razonables" de componentes tendremos que aplicar otra ley de escalamiento.

Ley Universal de Escalamiento para filtros pasivos

5.6 Criterios de diseño para otros tipos de especificaciones.

Transformación de paso bajo a paso alto.

En la función de transferencia equivale a sustituir:

s →1/s

Ejemplo:

Esta transformación se produce al sustituir Rs por Cs de valor 1/R y Cs por Rs de valor 1/C (transformación RC-CR de Mitra) en el filtro paso bajo activo prototipo.

Esta transformación equivale en el filtro paso bajo pasivo prototipo a sustituir Ls por Cs de valor 1/L y Cs por Ls de valor 1/C.

Transformación de paso bajo a paso banda.

En la función de transferencia equivale a sustituir:

Esta transformación equivale a poner en cascada dos filtros activo prototipo.

Esta transformación se obtiene sustituyendo en el filtro paso bajo pasivo prototipo:

Transformación de paso bajo a rechazo banda.

En la función de transferencia equivale a sustituir:

Esta transformación equivale a poner en paralelo dos filtros activo prototipo.

Esta transformación se obtiene sustituyendo en el filtro paso bajo pasivo prototipo:

5.7 Escalado en frecuencia e impedancia.

Permite reutilizar un filtro diseñado modificando las frecuencias de corte o los valores de las resistencias empleadas

Escalado en frecuencias:

Deseamos multiplicar la frecuencia característica de un filtro por una constante α.

Si la frecuencia del filtro ω pasa a ser αω, debemos modificar el valor de los componentes utilizados para no variar otras características del filtro.

En filtros pasivos:

ω → αω

C → C/α

L → L/α

En filtros activos (sólo hay resistencias y condensadores):

Se escalan sólo los valores de R o los valores de C

ω → αω

C → C/α ó R → R/α

Escalado de impedancias:

Deseamos mantener la frecuencia de corte pero utilizar los componentes disponibles (utilizar otros valores de impedancias).

Si disponemos de resistencias de valor βR en lugar del valor R del diseño, debemos modificar el valor de los otros componentes utilizados para no variar las características del filtro.

Si R → βR

C → C/β

L → βL

Ejemplo del uso de escalados:

El siguiente circuito es un filtro paso bajo de Chebyshev con las siguientes características:

1.png

Se desea convertirlo en un filtro pasa alto con las mismas características pero con una fp de 10 Khz y unos valores de resistencias "razonables" del orden de KΩ.

  1. Primero se convierte en un filtro paso bajo normalizado en frecuencia ωp= 1 rad/s.

α=1/(2π1000)=0.159·10-3

Para reducir la frecuencia, aumentaremos el valor de las resistencias o condensadores en la misma proporción. En este caso es más cómodo modificar las resistencias.

2.png

En el caso de filtros pasivos aumentaríamos al mismo tiempo los valores de los condensadores e inductancias.

  1. Transformamos a pasa alto normalizado en frecuencia ωp= 1 rad/s mediante las transformaciones R↔C de Mitra.

  1. Hacemos un escalado en frecuencia para pasar el filtro pasa alto de una ωp= 1 rad/s a una fp de 10 Khz (ω'p= 2π10000 rad/s).

α= 2π10000/1= 62893

Podemos disminuir (dividir por α) el valor de las resistencias o de los condensadores. Como las resistencias quedarían muy pequeñas, optamos por reducir el valor de los condensadores.

4.png

  1. Como los valores de las resistencias son muy elevadas las reduciremos mediante un escalado en impedancias. Como no deseamos que fp varíe si disminuimos las resistencias tendremos que aumentar en la misma relación los condensadores (en este caso 1000).