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Diagramas de Bode a partir de la función de transferencia.

  • Objetivo: Estudio del comportamiento en frecuencia de un circuito.
  • Tipo de circuito: Consideramos circuitos alimentados por fuentes sinusoidales (régimen permanente sinusoidal).
  • Razón: Cualquier función puede escribirse como suma de funciones sinusoidales (desarrollo de Fourier).

  • Aplicaciones: Análisis de filtros, sintonizadores, amplificadores, etc.

α factor de amplificación (igual para cada componente)

  • Filtros básicos:

  • Conceptos importantes:
    • Resonancia y su relación con la selectividad.
    • Factor de calidad (Q).
    • Ancho de banda y frecuencia de corte.

1.1 Análisis en frecuencia de la función de transferencia. Diagrama de Bode.

Ejemplos de funciones de transferencia:

Para cualquier función de transferencia:

1.2.png

La representación de H(ω) implica 2 gráficas (módulo |H(ω)| y fase ((ω)). Son magnitudes reales → tienen significado físico.

Forma de H(ω): Cociente de dos polinomios en ω (jω)

Factorizando los polinomios:

1.3.png

Representaremos el módulo y la fase de H(ω) factorizada

1.4.png

Por comodidad, se escoge una representación logarítmica:

Módulo:

eje Y: A(dB)=20log(|H(ω|) (decibelios)

eje X: ω en escala logarítmica

Fase:

eje Y: [H(ω)] en escala lineal

eje X: ω en escala logarítmica

(gráfica semilogarítmica)

Cada una de estas representaciones gráficas representa el Diagrama de Bode de Módulo y de Fase, respectivamente.

Aplicando logaritmos podemos representar el módulo de H(ω) como suma y diferencia de factores.

Utilidad de los diagramas de Bode:

Representación gráfica del comportamiento en frecuencia de un circuito.

Permiten representar un rango de ω mucho mayor. Cuando los polos y ceros de H(ω) son reales (o están muy cerca del eje R), la gráfica de |H(ω)| y ([(ω)] se puede aproximar fácilmente por tramos lineales.

1.2 Representación de la amplitud y fase de términos elementales de H(ω).

Módulo:

Fase:

Ni(ω) y Dk(ω) siempre serán de algunas de estas 4 formas:

1.5.png

Diagrama de Bode de estos casos particulares:

1. Ni (w)= K real

Módulo: A(db)=20Log|K| cte. recta horizontal

1.6.png

2. Ni(w) = jw

1.10.png

El signo + corresponde al término jw en el numerador, y - si está en el denominador.

1.7.png

3. Ni (w)= (1+jw/d)

1.13.png

1.8.png

No se puede representar por un único tramo recto ya que tiene un comportamiento distinto a bajas w.png y a altas w.png.

Gráfico9

Precisión de las aproximaciones:

1.11.png

Son los puntos de mayor error. El diagrama de Bode es una aproximación por asíntotas, no es la curva exacta de H(w).

1.2.1 Relación entre octava y década

Una década corresponde a multiplicar por 10 la frecuencia.

Una octava corresponde a doblar la frecuencia (origen en las notas musicales).

1.3 Composición gráfica de H(w).

Para representar H(ω) sumaremos gráficamente las contribuciones individuales de cada factor.

Ejemplo 1:

1.12.png

  1. Representar cada término.
  2. Identificamos regiones en cada cambio de pendiente.
  3. Empezamos por la región más a la izquierda sumando las contribuciones de cada término.

Módulo:

Grafico10

Fase:

Grafico11

Ejemplo 2:

Polos y ceros no coincidentes con las décadas.

Módulo:

Bode%20Corel1

Fase:

Bode%20Corel2

1.4 Factorización de la función de transferencia.

Es necesario tener H(jω) en la forma:

De este modo:

Pasos para factorizar:

  1. Hacer el cambio de variable s=jω
  2. Determinar los ceros y polos de H(s)
  3. Expresar H(s) factorizado
  4. Se deshace el cambio de variable s→jω
  5. Representar H(jω)

Nota:

Ejemplo 3:

Por tanto:

Nos interesa factores de la forma: (1+jω/d)

Términos a representar:

  1. K=10 término cte.
  2. (1+jw) cero simple
  3. jw polo en el origen.
  4. (1+jw/10) polo simple
  5. (1+jw/100) polo simple

Módulo:

Gráfico1

Fase:

Gráfico2

1.5 Polos y ceros cuadráticos.

Términos en el numerador o en el denominador de la forma:

1.14.png

Factorizamos:

Raíces:

Tres casos:

1.15.png

1.16.png

Representación del término cuadrático

1.17.png

Gráfico13

1.19.png

1.6 Corrección del diagrama de Bode (módulo).

Término simple

El mayor error se dará en los puntos:

1.20.png

Término cuadrático

Podemos localizar 4 puntos significativos alrededor de ω=d

Ejemplo 4:

Representación del diagrama de Bode real de H(ω)

Representación de módulo:

Correcciones a la aproximación:

1.25.png